wtorek, 19 czerwca 2012
środa, 30 maja 2012
Diofantos (gr. Διόφαντος=Diophantos, łac. Diophantus; ur. około 200/214 n.e., zm. około 284/298 n.e.) – matematyk grecki żyjący w III wieku n.e. w Aleksandrii.
Z jego głównego dzieła Arytmetyka, składającego się z 13 ksiąg, zachowało się 6 w języku greckim i 4 przetłumaczone na arabski. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Diofantos rozwiązuje w nich równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy, wprowadzając również więcej niewiadomych, które oznacza specjalnymi literami. Posługuje się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę stosuje skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych.
Diofantos miał uważać się za pierwszego matematyka, który zastosował znak równania - , oraz znak odejmowania ().
Według legendy na jego nagrobku widniał napis:
„
Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w którego piątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia.
Przechodniu, oblicz długość jego życia!
”
czwartek, 29 marca 2012
Archimedes z Syrakuz (gr. Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος Archimedes ho Syrakosios; ok. 287-212 p.n.e.) – grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.
W czasie drugiej wojny punickiej kierował pracami inżynieryjnymi przy obronie Syrakuz. Rzymianie myśleli, że sami bogowie bronią miasta, gdyż za murami schowane machiny oblężnicze jego konstrukcji ciskały pociski w ich stronę. Archimedes został zabity przez żołnierzy rzymskich po zdobyciu miasta, mimo wyraźnego rozkazu dowódcy, Marcellusa, by go ująć żywego. Później gorzko tego żałowano. Na życzenie Archimedesa na jego nagrobku wyryto kulę, stożek i walec.
Pewna legenda głosi, że żołnierz, który go zabił wpierw kazał mu się poddać. Ten jednak zajęty problemem geometrycznym i rysowaniem figur na piasku skarcił go, mówiąc: "Nie niszcz moich figur". Oburzony Rzymianin zabił Archimedesa swoim mieczem
Historię życia Archimedesa przyrównuje się często do procesu podbijania Starożytnej Grecji przez Republikę rzymską. Rzymianie swą okupacją spowodowali stagnację w rozwoju tak bogatej kultury, nauki i filozofii hellenistycznej, ale jednocześnie zachowali ogromny szacunek dla greckich osiągnięć, z których niejednokrotnie czerpali. Symbolem tego faktu jest właśnie śmierć Archimedesa – zabitego przez rzymskiego legionistę w chwili roztrząsania jakiegoś problemu matematycznego, a następnie z honorami pochowanego przez rzymskiego wodza. Zanim odcięto mu głowę miał powiedzieć "noli turbare circulos meos", co znaczy "nie zamazuj moich kół".
Praca naukowa
Był autorem traktatu o kwadraturze odcinka paraboli, twórcą hydrostatyki i statyki, prekursorem rachunku całkowego. Stworzył też podstawy rachunku różniczkowego. W dziele Elementy mechaniki wyłożył podstawy mechaniki teoretycznej. Zajmował się również astronomią – zbudował globus i (podobno) planetarium z hydraulicznym napędem, które Marcellus zabrał jako jedyny łup z Syrakuz, opisał ruch pięciu planet, Słońca i Księżyca wokół nieruchomej Ziemi.
Odkrycia Archimedesa
- prawo Archimedesa
- aksjomat Archimedesa
- zasadę dźwigni – sławne powiedzenie Archimedesa "Dajcie mi punkt podparcia, a poruszę Ziemię"
- prawa równi pochyłej
- środek ciężkości i sposoby jego wyznaczania dla prostych figur
- pojęcie siły
Jako pierwszy podał przybliżoną wartość liczby pi. Według jego oszacowania 
Dzieła Archimedesa
- O liczeniu piasku – o wielkich liczbach i o nieskończoności. Rozszerzył tu system liczbowy Greków (dotychczas sięgający liczby 10000 – miriada) i oszacował liczbę ziarenek piasku we wszechświecie jako
. Największą rozważaną przez niego liczbą była 
. - O liniach spiralnych – wprowadził tu spiralę Archimedesa
- O kuli i walcu – wyprowadza wzory na pole powierzchni i objętość kuli, walca i czaszy kulistej.
- O konoidach i sferoidach – o krzywych stożkowych
- O ciałach pływających – definicja praw hydrostatyki i aerostatyki
- Elementy mechaniki – podstawy mechaniki teoretycznej
- O liczbie PI - badał liczbę Pi
Wynalazki Archimedesa
- śruba Archimedesa
- przenośnik ślimakowy
- zegar wodny
- organy wodne
- machiny obronne
- udoskonalił wielokrążek i zastosował go do wodowania statków
Legenda o odkryciu prawa wyporu
Władca Syrakuz, Hieron II, powziął podejrzenie, że złotnik, któremu powierzono wykonanie korony ze szczerego złota, sprzeniewierzył część otrzymanego na to kruszcu i w zamian dodał pewną ilość srebra. W celu rozwiania trapiących go wątpliwości zwrócił się do Archimedesa z prośbą o ustalenie, jak sprawa ma się naprawdę. Prośbę swą Hieron II obwarował żądaniem, którego spełnienie przekreślało, wydawałoby się, możliwość uczynienia zadość życzeniu władcy. Otóż w żadnym wypadku Archimedes nie mógł zepsuć misternie wykonanej korony, istnego arcydzieła sztuki złotniczej. Długo, aczkolwiek bezskutecznie, rozmyślał fizyk nad sposobem wybrnięcia z sytuacji. Pewnego razu Archimedes, zażywając kąpieli w wannie i nieustannie rozmyślając nad powierzonym mu zadaniem, zauważył, że poszczególne członki jego ciała są w wodzie znacznie lżejsze niż w powietrzu. Nasunęło mu to myśl, że istnieje określony stosunek między zmniejszeniem się ciężaru ciała zanurzonego, a ciężarem wypartego płynu (prawo Archimedesa). Zachwycony prostotą własnego odkrycia wybiegł nago z wanny z radością krzycząc Heureka ! Heureka!, co znaczy po grecku Znalazłem!.
Stanąwszy przed obliczem Hierona, Archimedes łatwo wykazał fałszerstwo złotnika. Okazało się bowiem, że korona, niby szczerozłota, wyparła więcej cieczy, niż równa jej co do wagi bryła złota, co oznacza, że miała większą objętość, a więc mniejszą gęstość – nie była ze złota[2]. Wbrew powszechnemu przekonaniu Archimedes nie zastosował jednak do tej korony swojego nowo odkrytego prawa – nie mierzył spadku jej ciężaru, lecz ilość wypartej wody.
Anegdoty
Anegdota głosi, że pochłonięty rozwiązywaniem zadań matematycznych Archimedes przestał się myć, w wyniku czego zaczął wydzielać nieprzyjemny zapach. Gdy siłą nasmarowano go oliwą i ciągnięto by go wykąpać, kreślił na swoim ciele koła kontynuując swoje rozważania.
czwartek, 16 lutego 2012
Pitagoras urodził się około 572r.p.n.e na wyspie Samos. Około 532r.p.n.e opuścił wyspę. Wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie. Zachowane tabliczki z pismem klinowym wiadczą o tym, że twierdzenie, nazwane póżniej twierdzeniem Pitagorasa było znane Babilończykom na długo przed Pitagorasem, ale prawdopodobnie Pitagoras je udowodnił. W Krotonie założył związek pitagorejski i słynną szkołę pitagorejską. Religijno-polityczny związek zyskał póżniej nazwę szkoły pitagorejskiej i przetrwał do IVw.p.n.e. Po spaleniu szkoły zamieszkał w Metaponcie. Tam przebywał do śmierci. Z literatury filozoficznej Greków wynika, że Pitagoras jako pierwszy użył okre ślenia filozofia w rozumieniu "miłość mądrości", dla podkreślenia, że mądrość jest rzeczą boską, a tylko umiłowanie jej jest dostępne dla ludzi. Zmarł około 497r.p.n.e .
Podróże
Odbył liczne podróże między innymi do Indii, gdzie zetknął się z filozofią i religią tego rejonu. W Fenicji i Babilonie miał okazję poznać dokonania tamtejszych matematyków i przenieść myśl matematyczną Egipcjan i Babilończyków do Grecji
Sam Pitagoras podobno mówił, że w Egipcie żyją mędrcy, a on jest tylko filozofem (czyli miłośnikiem wiedzy).
Szkoła Pitagorasa
Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e.. Bractwo religijne Pitagorasa, oprócz mistycyzmu zajmowało się też badaniami naukowymi w zakresie matematyki i nauk przyrodniczych. Od ok. 509 p.n.e. przebywał w Metaponcie zakładając tam gminę, zbliżoną do sekt orfickich. Gmina miała cele religijne, moralne, polityczne i naukowe. Członków jej obowiązywało bezwzględne posłuszeństwo dla mistrza i jego nauczania, zachowywanie w tajemnicy nauk Pitagorasa i wiele symbolicznych przepisów. Adepci musieli przechodzić przez okres próby i oczyszczenia. Dokoła osoby Pitagorasa utworzyło się wiele legend. Nauki jego dokładnie nie znamy, nie pozostawił bowiem żadnych dzieł. Z całą pewnością wiadomo tylko, że od niego pochodzi nauka o wędrówce dusz[potrzebne źródło], mistyczna spekulacja na temat liczb i ?Twierdzenie Pitagorasa?. Bractwo to głosiło, że jednym z dogmatów jest nieśmiertelność, drugim zaś wędrówka dusz. Szkoła Pitagorasa była uwikłana w liczne zamieszania polityczne, dlatego sam jej założyciel został wygnany. Osiadłszy w Metaponcie, spędził tam resztę swego życia.
Dawnym pitagorejczykom (Philolaos, Archytas, Alkmeon) zawdzięczamy rozważania nad stosunkami ilościowymi tonów oraz astronomiczny obraz świata. Według tego obrazu wszechświat składa się z ognia centralnego, dokoła którego krążą: Słońce, Księżyc, 5 pierwszych planet: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz. Ziemia zaś i jakaś niewidoma dla nas przeciw Ziemia (razem 10 ciał; liczba 10 była według P. liczbą doskonałą). Pitagorejczycy przyjmowali też tak zwaną harmonię sfer. W pierwszym wieku po Chrystusie światopogląd pitagorejski odżył jako tzw. neopitagoreizm.
Liczba zasadą świata - Filozofia Pitagorasa
Według Pitagorasa z Samos świat jest boskim tworem, gdzie człowiek powinien zwyciężać w sobie naturę zwierzęcą i dążyć do boskiej. Uważał, że podstawą wszelkiego bytu są liczby i związane z nimi dziedziny wiedzy: geometria, arytmetyka i muzyka. Największym odkryciem Pitagorasa było stwierdzenie, że harmoniczne interwały w muzyce, można przedstawić za pomocą prostych stosunków liczbowych. Początkiem i zasadą (gr. ????) miała być jednostka (gr. ?????), z monady miała powstać nieograniczona diada, która miała być podłożem dla swojej przyczyny, czyli monady. Z monady i diady powstają liczby, z liczb punkty, z nich linie, z tych płaszczyzny, z płaszczyzn bryły, a z brył ciała postrzegalne zmysłami.
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości obu przyprostokątnych.
Twierdzenie II
Suma kątów trójkąta równa się dwóm kątom prostym.
Nauka Pitagorasa
Wydaje się, że Pitagoras przekazywał swe nauki w postaci maksym, z których część jest dziś dla nas zupełnie niezrozumiała, ze względu na nieznajomość kontekstu kulturowego, a część zachowuje swą aktualność do dziś. Oto kilka przykładów jego maksym:
# Należy dążyć do sprawiedliwości słowem czynem
# Umiar znaczy nie krzywdzić
# Kto zatraca się w cierpieniu, nie może być człowiekiem wolnym
# Staraj się żyć skromnie i uczciwie
# Trzeba milczeć, albo mówić rzeczy lepsze od milczenia
# Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie
# Natura jest wszędzie taka sama
# Muzyka budzi w sercu pragnienie dobrych czynów
# Naprawdę poznajemy człowieka dopiero po jego mierci
# Nic w nadmiarze
# Najkrótsze wyrazy "TAK" i "NIE" wymagają najdłuższego zastanowienia
# Kto mówi, sieje... kto słucha, zbiera
# Liczba jest istot wszystkich rzeczy
# Nie wyrażaj małej rzeczy w wielu słowach, lecz wielk rzecz w niewielu
# Człowiek jest miar wszechrzeczy
# Amicorum omnia communia (U przyjaciół wszystko jest wspólne)
# Milcz, albo powiedz co takiego, co jest lepsze od milczenia
Tales z Miletu uważany jest za jednego z „Siedmiu mędrców” czasów antycznych i za ojca nauki greckiej. Starożytni pisarze nazywali go „pierwszym” matematykiem i astronomem. Te wyrażenia świadczą, iż była to postać o wielostronnych zainteresowaniach i w dziedzinach, którymi się w swym życiuzajmował, musiał dokonać rzeczy znakomitych. I tak było. Tales był założycielem jońskiej szkoły filozofów przyrody, ponadto brał udział w życiu politycznym i gospodarczym swego miasta, które przez pewien okres pozostawało pod okupacją perską. Wbrew legendom mędrców należał do ludzi praktycznych, utrzymywał ożywione stosunki handlowe z Egiptem, Fenicją i Babilonią, dokąd eksportowano cenione wówczas tkaniny miletańskie. To było powodem, że odbywał do tych krajów częste podróże. I prawdopodobnie wtedy zapoznał się z osiągnięciami matematyki i astronomii Egiptu i Babilonii. Platon wspomina, że gdy Tales oglądał gwiazdy, wpadł do studni i kiedy piękna niewolnica miała się wyrazić żartem, iż chciał zobaczyć, co się dzieje na niebie, a nie dostrzegł, co znajduje się pod jego nogami. Anegdota ta nie charakteryzuje postawy Talesa. Nie był on oderwanym od życia myślicielem, lecz człowiekiem praktycznym, który umiał wykorzystać posiadaną wiedzę w swoich transakcjach handlowych. Poglądy fizyczne Talesa zrywały z przeważającą we wcześniejszych koncepcjach dotyczących powstania wszechświata i mitologicznej interpretacji zjawisk przyrody. Według przekazów pisarzy starożytnych Tales przewidział zaćmienie słońca w dzień 28.05.585 r p.n.e. , oraz pomierzył wysokość piramidy za pomocą jej cienia, które ona rzucała na podstawie podobieństwa trójkątów Proklos. Komentator pierwszej księgi elementów Euklidesa w oparciu o zaginioną historię geometrii Euklidesa przypisuje Talesowi autorstwo następujących twierdzeń geometrycznych: 1. Dowód, że średnia dzieli koło na połowy. Oznaczenie stosunku koła do jego średnicy literą p datuje się zaledwie od dwóch wieków. Symbol ten pochodzi od greckich słów periferia lub perimetron. Pierwszy raz został użyty w roku 1706 przez angielskiego matematyka Williama Jonesa. W powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku po wydaniu Analizy Eulera. Samo jednak zagadnienie, choć bez symbolicznego oznaczenia, istniało już od 4000 lat z okładem. Badacze słynnej piramidy Cheopsa dostrzegli w stosunkach jej wymiarów wyraźne ślady tego wielkiego symbolicznego stosunku obwodu koła do jego średnicy. Mianowicie, iloraz otrzymany z podziału sumy dwóch boków podstawy przez wysokość piramidy wyraża się liczbą 3,1416, to znaczy liczbą p z dokładnością do czterech cyfr po przecinku.2. Odkrycie obok szeregu innych twierdzeń, że kąty przypodstawne w trójkącie równoramiennym są równe. Twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych i o przystawaniu trójkątów o równych bokach i przyległych dwóch kątach. Talesowi przypisuje się również autorstwo twierdzenia, że kąt napisany w półokrąg jest prosty. Jego imieniem nazwano twierdzenie o proporcjonalności odcinków, jakie dwie równoległe odcinają na wierzchołkach kąta. Wymienione twierdzenia nie stanowiły w epoce Talesa żadnej rewolucji wobec poziomu, który osiągnęła zawarta już w owym czasie w rozwoju matematyka egipska i babilońska. Wielkość Talesa jako matematyka polega raczej na tym, że z jednym imieniem wiąże się pojęcie dowodu twierdzenia. Matematyków egipskich i babilońskich interesowało pytanie „jak”. Tales zaś o ile wiemy Jako pierwszy pytał, „dlaczego” nie jesteśmy dziś w stanie stwierdzić jak Tales przeprowadził dowód. Wybitny historyk matematyki starogreckiej T. Heath utrzymuje, że tak oczywistego faktu jak ten, iż średnica dzieli koło na połowy nie dowiódł również Euklides. I wszakże Eudenos, pisarz epoki Euklidesa znał zapewne pojęcie dowodu i nie ma podstaw, aby odrzucić jego relację, iż Tales dowody przeprowadzał. Talesa można uznać za tego, który łącząc teorię z praktyką zbudował fundament geometrii jako nauki dedukcyjnej, której ukształtowaniem były elementy Euklidesa.
poniedziałek, 28 listopada 2011
Subskrybuj:
Posty (Atom)